第11章 11.22

$z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおくと与式は

$r(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{r}(\cos \theta - i \sin \theta) = \sqrt{3}$

$\left(r + \frac{1}{r}\right) \cos \theta + i\left(r - \frac{1}{r}\right) \sin \theta = \sqrt{3}$

これから②より $r - \frac{1}{r} = 0$ または $\sin \theta = 0$

ここで $\sin \theta = 0$ の場合①において $r$ が実数ならないため

$r - \frac{1}{r} = 0 \quad r^2 - 1 = 0 \quad r = 1 \quad \text{となる}$

これを①に代入して $(1 + 1) \cos \theta = \sqrt{3}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \theta = \pm \frac{\pi}{6} \quad \text{これから}$

$z = \cos\left(\pm \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\pm \frac{\pi}{6}\right)$