高専の数学解説

第9章 9.4

(1)

xdydx−y=0xdydx=yx\frac{dy}{dx}-y=0 \qquad x\frac{dy}{dx}=y

∫1ydy=∫1xdxlog⁡y=log⁡x+C1y=xeC1eC1=C とおくと\int \frac{1}{y}dy=\int \frac{1}{x}dx \qquad \log y=\log x+C_1 \qquad y=xe^{C_1} \qquad e^{C_1}=C \text{ とおくと}

y=Cx(C は任意定数)y=Cx \qquad (C\text{ は任意定数})

(2)

dydx=−xy\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

∫y dy=−∫x dx12y2=−12x2+C1y2=−x2+2C12C1=C とおくと\int y\,dy=-\int x\,dx \qquad \frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2+C_1 \qquad y^2=-x^2+2C_1 \qquad 2C_1=C \text{ とおくと}

y2=−x2+C(C は任意定数)y^2=-x^2+C \qquad (C\text{ は任意定数})

(3)

2x+ydydx=0ydydx=−2x2x+y\frac{dy}{dx}=0 \qquad y\frac{dy}{dx}=-2x

∫y dy=−2∫x dx12y2=−2(12x2+C1)y2=−2x2−4C1−4C1=C とおくと\int y\,dy=-2\int x\,dx \qquad \frac{1}{2}y^2=-2\left(\frac{1}{2}x^2+C_1\right) \qquad y^2=-2x^2-4C_1 \qquad -4C_1=C \text{ とおくと}

y2=−2x2+C(C は任意定数)y^2=-2x^2+C \qquad (C\text{ は任意定数})

(4)

x2dydx+y2=0x2dydx=−y2x^2\frac{dy}{dx}+y^2=0 \qquad x^2\frac{dy}{dx}=-y^2

∫1y2dy=−∫1x2dx−1y=1x−C1−x=y−xyC1C1=C とおくと\int \frac{1}{y^2}dy=-\int \frac{1}{x^2}dx \qquad -\frac{1}{y}=\frac{1}{x}-C_1 \qquad -x=y-xyC_1 \qquad C_1=C \text{ とおくと}

x+y=Cxy(C は任意定数)x+y=Cxy \qquad (C\text{ は任意定数})

解説: r31bn1z