第9章 9.2

(1)

$y = 2Cx^2 \qquad C = \dfrac{y}{2x^2} \qquad ① \qquad y' = 4Cx \qquad ②$

①、②から C を消去して

$y' = \dfrac{2y}{x} \qquad xy' = 2y$

(2)

$y = Ce^{\frac{x}{2}} \qquad C = \dfrac{y}{e^{\frac{x}{2}}} \qquad ① \qquad y' = \dfrac{C}{2}e^{\frac{x}{2}} \qquad ②$

①、②から C を消去して

$y' = \dfrac{y}{2} \qquad 2y' = y$

(3)

$y^2 = C - e^{2x}$

微分すると

$2yy' = -2e^{2x} \qquad yy' + e^{2x} = 0$

(4)

$y = x^2 + Cx$

微分すると

$y' = 2x + C \qquad C = y' - 2x$

これを与式に代入して

$y = x^2 + (y' - 2x)x = x^2 + xy' - 2x^2 \qquad xy' - y - x^2 = 0$

(5)

$y = C(x + C)$

微分すると

$y' = C$

これを与式に代入して

$y = y'(x + y')$

(6)

$y = C(1 + \cos x)$

微分すると

$y' = -C\sin x \qquad C = -\dfrac{y'}{\sin x}$

これを与式に代入すると

$y = -\dfrac{y'}{\sin x}(1 + \cos x) \qquad (1 + \cos x)y' + y\sin x = 0$