第9章 9.1

(1)

$y = \dfrac{C}{x}$ $xy'+y=0$ $[x=1,\ y=2]$

$xy'+y=0$ $xy'=-y$ $x\dfrac{dy}{dx}=-y$ $\displaystyle\int\dfrac{1}{y}dy=-\int\dfrac{1}{x}dx$ $\log y=-\log x+C_1$

$y=x^{-1}e^{C_1}$ $e^{C_1}=C$ とおいて $y=\dfrac{C}{x}$

$x=1,y=2$ のとき $C=2$

(2)

$y=Cx+\dfrac{C}{x}$ $(x^2-1)y-x(x^2+1)y'=0$ $[x=1,\ y=2]$

$y=C\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$ $y'=C\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)$ これを右辺に代入すると

$(x^2-1)\left\{C\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\right\}-x(x^2+1)\left\{C\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\right\}=C(x^2-1)\left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)-Cx(x^2+1)\left(\dfrac{x^2-1}{x^2}\right)$

$=\dfrac{C}{x}(x^2-1)(x^2+1)-\dfrac{C}{x}(x^2-1)(x^2+1)=0$

$x=1,y=2$ のとき $2=C+C$ $C=1$

(3)

$y=C\sin x$ $y'\tan x-y=0$ $\left[x=\dfrac{\pi}{2},\ y=2\right]$

$y=C\sin x$ $y'=C\cos x$ これを右辺に代入して

$(C\cdot\cos x)\cdot\tan x-C\sin x=C\sin x-C\sin x=0$

$x=\dfrac{\pi}{2},y=2$ のとき $2=C\cdot\sin\dfrac{\pi}{2}$ $C=2$

(4)

$(x-C)^2+y^2=1$ $y^2(1+y'^2)=1$ $[x=0,\ y=-1]$

$y=\sqrt{1-(x-C)^2}$ $y'=\dfrac{-(x-C)}{\sqrt{1-(x-C)^2}}$ これを右辺に代入すると

$\{1-(x-C)^2\}\left(1+\dfrac{\{-(x-C)\}^2}{1-(x-C)^2}\right)=\{1-(x-C)^2\}\dfrac{1}{1-(x-C)^2}=1$

$x=0,\ y=-1$のとき $(-C)^2+(-1)^2=1$ $C=0$