第7章 7.31

$AC^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos\frac{\pi}{3}$

$= x^2 + y^2 - xy$

$= 10^2 + 5^2 - 100\cos\theta$

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}xy + 25\sin\theta$

$g = x^2 + y^2 - xy$ とおく

$g_x = 2x - y \qquad g_y = 2y - x \qquad S_x = \frac{\sqrt{3}}{4}y \qquad S_y = \frac{\sqrt{3}}{4}x$

ラグランジュの乗数法から

$\begin{cases} \dfrac{\sqrt{3}}{4}y - \lambda(2x - y) = 0 & ① \\[2mm] \dfrac{\sqrt{3}}{4}x - \lambda(2y - x) = 0 & ② \end{cases}$

①、②から $\dfrac{y}{2x-y} = \dfrac{x}{2y-x}$ $\therefore x = y$

$AC^2$ の式に代入すると

$x^2 = 125 - 100\cos\theta$

ここで $h = x^2 + 100\cos\theta - 125$ とおくと

$h_x = 2x \qquad h_\theta = -100\sin\theta$

また $x = y$ から

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + 25\sin\theta$

$S_x = \frac{\sqrt{3}}{2}x \qquad S_\theta = 25\cos\theta$

ラグランジュの乗数法から

$\begin{cases} \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \lambda \cdot 2x = 0 & ③ \\[2mm] 25\cos\theta + \lambda \cdot 100\sin\theta = 0 & ④ \end{cases}$

③から $\lambda = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

④に代入して整理すると

$\frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad \tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} \qquad \therefore \theta = \frac{5}{6}\pi$

$x^2 = 125 - 100\cos\theta$ から

$= 125 - 100 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 125 + 50\sqrt{3}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}(125 + 50\sqrt{3}) + 25 \cdot \frac{1}{2} = 50 + \frac{125}{4}\sqrt{3}$