第7章 7.30

(1)

$g = x^2 - xy + y^3 - 1$ とおくと

$g_x = 2x - y \qquad g_y = -x + 3y^2$

接線: $f_{x(a,b)}(x-a) + f_{y(a,b)}(y-b) = 0$

$P(0,1)$ から $\quad -x + 3(y-1) = 0 \qquad \therefore y = \dfrac{1}{3}x + 1$

(2)

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x-y}{x-3y^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x-y}{x-3y^2}\right) = \frac{\left(2-\dfrac{dy}{dx}\right)(x-3y^2) - \left(1-6y\dfrac{dy}{dx}\right)(2x-y)}{(x-3y^2)^2}$

$= \frac{\left(2-\dfrac{2x-y}{x-3y^2}\right)(x-3y^2) - \left(1-6y\dfrac{2x-y}{x-3y^2}\right)(2x-y)}{(x-3y^2)^2}$

$= \frac{(2x-6y^2-2x+y)(x-3y^2) - (x-3y^2-12xy+6y^2)(2x-y)}{(x-3y^2)^3}$

$= \frac{(-6y^2+y)(x-3y^2) - (x-12xy+3y^2)(2x-y)}{(x-3y^2)^3}$

$= \frac{-2x^2+24x^2y-24xy^2+2xy+18y^4}{(x-3y^2)^3} = \frac{-2(x^2-xy)+24y(x^2-xy+y^3)-6y^4}{(x-3y^2)^3}$

与式から

$= \frac{-2(1-y^3)+24y-6y^4}{(x-3y^2)^3} = \frac{-6y^4+2y^3+24y-2}{(x-3y^2)^3}$

$P(0,1)$ から

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{-2}{3} < 0 \quad \text{極大}$

よって上に凸

(3)

※問題集の後ろの解とは異なっているので、正解かどうかは分からない

(1)

(2)から $a_0 = 1$　　$a_1 = \dfrac{1}{3}$　　$a_2 = -\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2!} = -\dfrac{1}{3}$

(2)

から

$\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx}\left(\frac{-6y^4+2y^3+24y-2}{(x-3y^2)^3}\right)$

$=\frac{\left(-24y^3\dfrac{dy}{dx}+6y^2\dfrac{dy}{dx}+24\right)(x-3y^2)^3-(-6y^4+2y^3+24y-2)\cdot3(x-3y^2)^2\left(1-6y\dfrac{dy}{dx}\right)}{(x-3y^2)^6}$

$P(0,1)$ において $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{(0,1)} = \dfrac{1}{3}$ より

$=\frac{\left(-24\cdot\dfrac{1}{3}+6\cdot\dfrac{1}{3}+24\right)\cdot3^3-(-6+2+24-2)\cdot3\cdot(-3)^2\left(1-6\cdot\dfrac{1}{3}\right)}{(-3)^6}$

$=\frac{(-8+2+24)\cdot27-18\cdot3\cdot9\cdot(-1)}{3^6}=\frac{18\cdot27+18\cdot27}{3^6}=\frac{4}{3}$

これから $a_3 = \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{3!} = \dfrac{2}{9}$