第7章 7.29

(1)

$f = x^3 - xy + y^3$

$f_x = 3x^2 - y \qquad f_y = -x + 3y^2 \qquad f_{xx} = 6x \qquad f_{yy} = 6y \qquad f_{xy} = -1$

(2)

$f_x = f_y = 0$のとき $f_x = 0$から $y = 3x^2$

これを$f_y$に代入して

$-x + 27x^4 = 0 \qquad x(27x^3 - 1) = 0 \qquad x = 0, \frac{1}{3} \qquad y = 0, \frac{1}{3}$

$(x, y) = (0, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

$H_{(x,y)} = 36xy - 1$

$H_{(0,0)} < 0$

$H_{(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})} > 0$

$f_{xx(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})} > 0 \quad \text{極小}$

よって$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$のとき極小値$-\frac{1}{27}$

(3)

$y = 1$、$y = 0$、$x = 1$、$x = -1$で、それぞれ極値を調べる

$y = 1$のとき $f = x^3 - x + 1$

$f_x = 3x^2 - 1 \qquad f_{xx} = 6x$

$f_x = 0$のとき $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$のとき $f = \frac{-2 + 3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$

$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき $f = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$y = 0$ のとき $f = x^3$

$f_x = 3x^2$ $f_{xx} = 6x$

$f_x = 0$ のとき $x = 0$

$x = 0$ のとき $f = 0$

$x = 1$ のとき $f = 1 - y + y^3$ 極値$(1, \dfrac{1}{\sqrt{3}})$ $f = \dfrac{-2 + 3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$

$x = -1$ のとき $f = -1 + y + y^3$ 極値なし

そのため $y = 1$、$y = 0$ のときの値を調べる

$(-1, 0)$ で $f = -1$ $(-1, 1)$ で $f = 1$

これから $(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ で最大値 $1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ $(-1, 0)$ で最小値 $-1$