第7章 7.28

(1)

$f = x^3 + y^3 - 3xy$

$f_x = 3x^2 - 3y \qquad f_y = 3y^2 - 3x \qquad f_{xx} = 6x \qquad f_{yy} = 6y \qquad f_{xy} = -3$

$f_x = f_y = 0$ のとき $(x,y) = (0,0),(1,1)$

$H_{(x,y)} = 36xy - 9$

$H_{(0,0)} < 0$

$H_{(1,1)} > 0$

$f_{xx(1,1)} > 0$ 極小

よって$(1,1)$のとき極小値$-1$

(2)

・$AB$上（$y=1$のまま） よって $x^3+1-3x$

・$BC$上（$x=-1$のまま） よって $-1+y^3+3y$

・$CD$上（$y=-1$のまま） よって $x^3-1+3x$

・$DA$上（$x=1$のまま） よって $1+y^3-3y$

(3)

$|x| \leq 1$、$|y| \leq 1$から (2)の$A,B,C,D$で考える

$A(1,1)$のとき $f=-1$ $B(-1,1)$のとき $f=3$

$C(-1,-1)$のとき $f=-5$ $D(1,-1)$のとき $f=3$

よって$(\pm1,\mp1)$のとき最大値$3$ $(-1,-1)$のとき最小値$-5$ （複合同順）