第7章 7.27

$\frac{x^2}{4} + y^2 \leq 1 \quad \text{条件}$

$g \geq \frac{x^2}{4} + y^2 - 1 \quad \text{とおく}$

$z = x + y + \sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - y^2} = x + y + \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^2 - 4y^2}$

$g_x = \frac{1}{2}x \qquad g_y = 2y \qquad z_x = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2-4y^2}} \qquad z_y = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{-4y}{\sqrt{4-x^2-4y^2}}$

ラグランジュの乗数法から

$\begin{cases} 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2-4y^2}} - \lambda \dfrac{1}{2}x = 0 & ① \\[2mm] 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{-4y}{\sqrt{4-x^2-4y^2}} - \lambda 2y = 0 & ② \end{cases}$

$\lambda = \frac{2}{x} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2-4y^2}}\right) = \frac{1}{2y} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{-4y}{\sqrt{4-x^2-4y^2}}\right)$

$x = 4y \qquad ③$

これを条件式に代入して

$4y^2 + y^2 \leq 1 \qquad y \leq \pm\frac{1}{\sqrt{5}} \qquad x \leq \pm\frac{4}{\sqrt{5}}$

また③を$z$の式に代入すると

$z = 5y + \sqrt{1-5y^2} \qquad z_y = 5 + \frac{-5y}{\sqrt{1-5y^2}}$

$z_y = 0$のとき $y^2 = \frac{1}{6}$ $\therefore y = \pm\frac{1}{\sqrt{6}}$ $x = \pm\frac{4}{\sqrt{6}}$

$(\pm\dfrac{4}{\sqrt{5}}, \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}})$、$(\pm\dfrac{4}{\sqrt{6}}, \pm\dfrac{1}{\sqrt{6}})$のそれぞれを$z$に代入すると

$(\pm\dfrac{4}{\sqrt{5}}, \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}})$のとき最大値$\sqrt{6}$ $(\pm\dfrac{4}{\sqrt{6}}, \pm\dfrac{1}{\sqrt{6}})$のとき最小値$-\sqrt{5}$