高専の数学解説

第7章 7.26

S=12a′2sin⁡x+12a′2sin⁡y+12a′2sin⁡z+12a′2sin⁡wS = \frac{1}{2}a'^2\sin x + \frac{1}{2}a'^2\sin y + \frac{1}{2}a'^2\sin z + \frac{1}{2}a'^2\sin w

角度 x+y+z+w=2πx+y+z+w=2\pi 条件

g=x+y+z+w−2πg = x+y+z+w-2\pi とおく

Sx=12a′2cos⁡xSy=12a′2cos⁡yS_x = \frac{1}{2}a'^2\cos x \qquad S_y = \frac{1}{2}a'^2\cos y

Sz=12a′2cos⁡zSw=12a′2cos⁡wS_z = \frac{1}{2}a'^2\cos z \qquad S_w = \frac{1}{2}a'^2\cos w

直方体頂点が球に接している所で切り

この時の円の半径をa′a'とする

gx=gy=gz=gw=1g_x = g_y = g_z = g_w = 1

ラグランジュの乗数法から

{12a′2cos⁡x−λ=012a′2cos⁡y−λ=012a′2cos⁡z−λ=012a′2cos⁡w−λ=0\begin{cases} \dfrac{1}{2}a'^2\cos x - \lambda = 0 \\ \dfrac{1}{2}a'^2\cos y - \lambda = 0 \\ \dfrac{1}{2}a'^2\cos z - \lambda = 0 \\ \dfrac{1}{2}a'^2\cos w - \lambda = 0 \end{cases}

これから cos⁡x=cos⁡y=cos⁡z=cos⁡w\cos x = \cos y = \cos z = \cos w ∴x=y=z=w=π2\therefore x=y=z=w=\dfrac{\pi}{2}

よって正方形となる。これは６面全てに言えるので立方体となる

このとき体積は 833a3\dfrac{8}{3\sqrt{3}}a^3

解説: r31bn1z