第7章 7.25

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 条件

$g=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1$とおく

$f=\left\{\dfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\right\}'=-\dfrac{bx}{a\sqrt{a^2-x^2}}$

接線の方程式は $y-y_0=-\dfrac{bx_0}{a\sqrt{a^2-x_0^{2}}}(x-x_0)$ $\therefore\ \dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$

$x=0$を代入して $y=\dfrac{b^2}{y_0}$ $y=0$を代入して $x=\dfrac{a^2}{x_0}$

$S^2=\left(\dfrac{b^2}{y_0}\right)^2+\left(\dfrac{a^2}{x_0}\right)^2$ これを$F$とおくと

$F_x=-\dfrac{2a^4}{x_0^{3}}\Rightarrow-\dfrac{2a^4}{x^3}$ $F_y=-\dfrac{2b^4}{y_0^{3}}\Rightarrow-\dfrac{2b^4}{y_0^{3}}$ として

$g_x=\dfrac{2}{a^2}x$ $g_y=\dfrac{2}{b^2}y$

ラグランジュの乗数法から

$\begin{cases}-\dfrac{2a^4}{x^3}-\lambda\dfrac{2}{a^2}x=0 & ① \\[2mm] -\dfrac{2b^4}{y^3}-\lambda\dfrac{2}{b^2}y=0 & ② \end{cases}$

①、②から $\dfrac{a^6}{x^4}=\dfrac{b^6}{y^4}$ $x=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}y$

条件式に代入して $y=\dfrac{b^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a+b}}$ $x=\dfrac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a+b}}$

よってこのときの線分の長さは

$S=\sqrt{\left(\dfrac{b^2}{b^{\frac{3}{2}}/\sqrt{a+b}}\right)^2+\left(\dfrac{a^2}{a^{\frac{3}{2}}/\sqrt{a+b}}\right)^2}=\sqrt{b(a+b)+a(a+b)}=a+b$

接線方程式の式変形方法

$y - y_0 = -\frac{bx_0}{a\sqrt{a^2 - x_0^{\,2}}}(x - x_0) \qquad ①$

$y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \quad \text{から} \quad \frac{a}{b}y = \sqrt{a^2 - x^2}$

点$(x_0, y_0)$においてこの式は$\dfrac{a}{b}y_0 = \sqrt{a^2 - x_0^{\,2}}$となるので①に代入して

$y - y_0 = -\frac{bx_0}{a \cdot \dfrac{a}{b}y_0}(x - x_0) = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}(x - x_0) \quad \text{となる。\text{これを式変形していくと}}$

$\frac{y_0}{b^2}(y - y_0) = -\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) \qquad\qquad \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{x_0 x}{a^2} = \frac{x_0^{\,2}}{a^2} + \frac{y_0^{\,2}}{b^2} \quad \text{となる}$

ここで$\dfrac{x_0^{\,2}}{a^2} + \dfrac{y_0^{\,2}}{b^2} = 1$から

$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1 \quad \text{となる}$