第7章 7.4

軸とする三角形の辺を$z$、他の２辺を$x,y$、高さ$h$とすると

条件 $x+y+z=2s=f$

$S=\frac{1}{2}zh=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)} \qquad V=\frac{1}{3}\pi h^2 z$

$h=\frac{2\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}}{z}$ から

$V=\frac{4}{3}\pi\frac{s(s-x)(s-y)(s-z)}{z}$

$f_x=1 \qquad f_y=1 \qquad f_z=1$

$V_x=\frac{4}{3}\pi\frac{-s(s-y)(s-z)}{z} \qquad V_y=\frac{4}{3}\pi\frac{-s(s-x)(s-z)}{z} \qquad V_z=\frac{4}{3}\pi\frac{-s^2(s-x)(s-y)}{z^2}$

ラグランジュの乗数法より

$\begin{cases} \dfrac{4}{3}\pi\dfrac{-s(s-y)(s-z)}{z}-\lambda=0 & ① \\[2mm] \dfrac{4}{3}\pi\dfrac{-s(s-x)(s-z)}{z}-\lambda=0 & ② \\[2mm] \dfrac{4}{3}\pi\dfrac{-s^2(s-x)(s-y)}{z^2}-\lambda=0 & ③ \end{cases}$

①＝②から

$(s-y)(s-z)=(s-x)(s-z) \qquad y=x$

②＝③から

$(s-x)(s-z)=\frac{s(s-x)(s-y)}{z} \qquad y=\frac{s^2-sz+z^2}{s}$

これから

$\frac{s(s^2-sz+z^2)-sz}{s}=2s \qquad z(2z-s)=0 \qquad z=\frac{s}{2}$

よって

$x=y=\frac{3}{4}s \qquad z=\frac{s}{2}$