第7章 7.5

(1)

$x^3 - 3xy + y^3 = 0$

$F = x^3 - 3xy + y^3$ とおくと

$F_x = 3x^2 - 3y = 0 \qquad F_y = -3x + 3y^2 = 0$

$F_x = F_y = 0$ のとき $(x, y) = (0, 0)$

(2)

$y^2 = (x - a)^3$

$F = y^2 - (x - a)^3$ とおくと

$F_x = -3(x - a)^2 \qquad F_y = 2y$

$F_x = F_y = 0$ のとき $(x, y) = (a, 0)$

(3)

$y^2 - x^2 y + x^3 = 0$

$F = y^2 - x^2 y + x^3$ とおくと

$F_x = -2xy + 3x^2 \qquad F_y = 2y - x^2$

$F_x = F_y = 0$ のとき $(x, y) = (0, 0)$

(4)

$x^3 - 2x^2 - xy - 2y = 0$

$F = x^3 - 2x^2 - xy - 2y$ とおくと

$F_x = 3x^2 - 4x - y \qquad F_y = -x - 2$

$F_x = F_y = 0$ のとき $(x, y) = (-2, 20)$

これを $F$ に代入すると $-8 - 8 + 40 - 40 = -16 \neq 0$ よって特異点はない