高専の数学解説

第4章 4.4

(1)

x+1x2+4\frac{x+1}{\sqrt{x^2+4}}

∫x+1x2+4 dx=∫{xx2+4+1x2+4}dx=x2+4+log⁡∣x+x2+4∣+C\int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+4}}\,dx = \int \left\{ \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right\} dx = \sqrt{x^2+4} + \log\left|x+\sqrt{x^2+4}\right| + C

(C は積分定数)

(2)

1−x1−x2\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}

∫1−x1−x2 dx=∫{11−x2−x1−x2}dx=sin⁡−1x+1−x2+C\int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int \left\{ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right\} dx = \sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C

(C は積分定数)

(3)

xx4−3\frac{x}{\sqrt{x^4-3}}

∫xx4−3 dxx2=t とおくと2x dx=dtx dx=12dtこれから\int \frac{x}{\sqrt{x^4-3}}\,dx \qquad x^2=t \ \text{とおくと} \qquad 2x\,dx = dt \qquad x\,dx = \frac{1}{2}dt \qquad \text{これから}

=∫12⋅1t2−3 dt=12log⁡∣t+t2−3∣+C元に戻して= \int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{t^2-3}}\,dt = \frac{1}{2}\log\left|t+\sqrt{t^2-3}\right| + C \qquad \text{元に戻して}

=12log⁡∣x2+x4−3∣+C= \frac{1}{2}\log\left|x^2+\sqrt{x^4-3}\right| + C

(C は積分定数)

(4)

x1−x4\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}

∫x1−x4 dxx2=t とおくと2x dx=dtx dx=12dtこれから\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx \qquad x^2=t \ \text{とおくと} \qquad 2x\,dx = dt \qquad x\,dx = \frac{1}{2}dt \qquad \text{これから}

=∫12⋅11−t2 dt=12sin⁡−1t+C元に戻して= \int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,dt = \frac{1}{2}\sin^{-1}t + C \qquad \text{元に戻して}

=12sin⁡−1x2+C= \frac{1}{2}\sin^{-1}x^2 + C

(C は積分定数)

解説: r31bn1z