第4章 4.5

(1)

$\dfrac{x^2}{x^2+1}$

$\int \frac{x^2}{x^2+1}\,dx = \int 1-\frac{1}{x^2+1}\,dx = x-\tan^{-1}x+C$ （C は積分定数）

(2)

$\dfrac{2x-1}{x^2+1}$

$\int \frac{2x-1}{x^2+1}\,dx = \int \left\{\frac{2x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right\}dx = \log(x^2+1)-\tan^{-1}x+C$ （C は積分定数）

(3)

$\dfrac{2x+5}{x^2+4x+5}$

$\int \frac{2x+5}{x^2+4x+5}\,dx = \int \left\{\frac{2x+4}{x^2+4x+5}+\frac{1}{x^2+4x+5}\right\}dx = \int \left\{\frac{2x+4}{x^2+4x+5}+\frac{1}{(x+2)^2+1}\right\}dx$

$=\log(x^2+4x+5)+\tan^{-1}(x+1)+C$ （C は積分定数）

(4)

$\dfrac{x^2}{x^6+4}$

$\int \frac{x^2}{x^6+4}\,dx \qquad x^3=t \quad \text{とおくと} \quad 3x^2\,dx=dt \quad x^2\,dx=\frac{1}{3}dt \quad \text{これから}$

$=\int \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{t^2+4}\,dt = \frac{1}{6}\tan^{-1}\frac{t}{2}+C \qquad \text{元に戻して}$

$=\frac{1}{6}\tan^{-1}\frac{x^3}{2}+C$ （C は積分定数）