第2章 2.11

(1)

$\lim_{x\to0}(1-\sin2x)^{\frac{1}{x}}$

極限値を $a$ とおくと $a=\displaystyle\lim_{x\to0}(1-\sin2x)^{\frac{1}{x}}$

$\log a=\lim_{x\to0}\log(1-\sin2x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\log(1-\sin2x)=\lim_{x\to0}\frac{\log(1-\sin2x)}{x}$

$x\to0$ では分母→0、分子→0となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{\log(1-\sin2x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{-2\cos2x}{1-\sin2x}}{1}=\lim_{x\to0}\frac{-2\cos2x}{1-\sin2x}=-2$

$\log a=-2$ から $a=e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}$

(2)

$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)^{\frac{1}{x}}$

極限値を $a$ とおくと $a=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)^{\frac{1}{x}}$

$\log a=\lim_{x\to\infty}\log\left(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)$

$x\to\infty$ では分母→∞、分子→$-\infty$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{-\dfrac{1}{1+x^2}}{\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{-\dfrac{1}{1+x^2}}{\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x}$

$x\to\infty$ では分母→0、分子→0となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to\infty}\frac{-\dfrac{1}{1+x^2}}{\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}}{-\dfrac{1}{1+x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-2x}{1+x^2}=0$

$\log a=0$ から $a=1$

(3)

$\lim_{x\to0}(1-\cos x)^{x^2}$

極限値を $a$ とおくと $a=\displaystyle\lim_{x\to0}(1-\cos x)^{x^2}$

$\log a=\lim_{x\to0}\log(1-\cos x)^{x^2}=\lim_{x\to0}x^2\log(1-\cos x)=\lim_{x\to0}\frac{\log(1-\cos x)}{\dfrac{1}{x^2}}$

$x\to0$ では分母$\to\infty$、分子$\to-\infty$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{\log(1-\cos x)}{\dfrac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{\sin x}{1-\cos x}}{-\dfrac{2}{x^3}}=\lim_{x\to0}-\frac{x^3\sin x}{2(1-\cos x)}$

$x\to0$ では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}-\frac{x^3\sin x}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}-\frac{3x^2\sin x+x^3\cos x}{\sin x}$

$x\to0$ では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}-\frac{3x^2\sin x+x^3\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to0}-\frac{6x\sin x+3x^2\cos x+3x^2\cos x-x^3\sin x}{\cos x}=0$

$\log a=0$ から $a=1$

(4)

$\lim_{x\to0}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$

極限値を $a$ とおくと $a=\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$

$\log a=\lim_{x\to0}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)}{x}$

$x\to0$ では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{1-x+1+x}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}=\lim_{x\to0}\frac{2}{(1-x)(1+x)}=2$

$\log a=2$ から $a=e^2$