第2章 2.10

(1)

$\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2 x}-\cos x}{3x^2}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos^3 x}{3x^2\cos^2 x}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos^3 x}{3x^2\cos^2 x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{-3\cos^2 x\cdot(-\sin x)}{6x\cos^2 x+3x^2\cdot 2\cos x\cdot(-\sin x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{3\cos^2 x\cdot\sin x}{6x\cos^2 x-6x^2\cos x\cdot\sin x}$

$=\lim_{x \to 0}\dfrac{3\cos^2 x\cdot\sin x}{6x\cos^2 x-3x^2\sin 2x}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$=\lim_{x \to 0}\dfrac{3\cos^2 x\cdot\sin x}{6x\cos^2 x-3x^2\sin 2x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{-6\cos x\cdot\sin^2 x+3\cos^3 x}{6\cos^2 x+6x\cdot 2\cos x\cdot(-\sin x)-6x\sin 2x-6x^2\cos 2x}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

(2)

$\lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin^{-1}x}{x-x\sin x}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin^{-1}x}{x-x\sin x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1-\sin x-x\cos x}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1-\sin x-x\cos x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{-\dfrac{x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}}{-\cos x-\cos x+x\sin x}=0$

(3)

$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\dfrac{1-\cos 2x}{2}}-\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to0}\left(\frac{2}{1-\cos 2x}-\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to0}\frac{2x^2-1+\cos 2x}{x^2(1-\cos 2x)}$

$x\to0$ では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{2x^2-1+\cos 2x}{x^2(1-\cos 2x)}=\lim_{x\to0}\frac{4x-2\sin 2x}{2x(1-\cos 2x)+x^2\cdot 2\sin 2x}$

$x\to0$ では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{4x-2\sin 2x}{2x(1-\cos 2x)+x^2\cdot 2\sin 2x}=\lim_{x\to0}\frac{4-4\cos 2x}{2(1-\cos 2x)+2x\cdot 2\sin 2x+4x\sin 2x+4x^2\cos 2x}$

$x\to0$ では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$=\lim_{x\to0}\frac{8\sin 2x}{4\sin 2x+4\sin 2x+8x\cos 2x+4\sin 2x+8x\cos 2x+8x\cos 2x-8x^2\sin 2x}$

$=\lim_{x\to0}\frac{8\sin 2x}{12\sin 2x+24x\cos 2x-8x^2\sin 2x}$

$x\to0$ では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$=\lim_{x\to0}\frac{16\cos 2x}{24\cos 2x+24\cos 2x-48x\sin 2x-16x\sin 2x-16x^2\cos 2x}=\frac{16}{48}=\frac{1}{3}$