第2章 2.6

(1)

$\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$

$\dfrac{1}{x-1} = t$ とおくと $x = \dfrac{1+t}{t}$ $x \to 1$ のとき $t \to \infty$

これから

$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-t} = \frac{1}{e}$

(2)

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x}$

$\dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{t}$ とおくと $x = 3t$ $x \to \infty$ のとき $t \to \infty$

$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{3t} = e^{3}$

(3)

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x}}$

$y = \lim\limits_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x}}$ とおくと

$\log y = \lim_{x \to 0} \log\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log\left(\frac{1}{\cos x}\right) = \lim_{x \to 0} -\frac{\log(\cos x)}{x}$

$x \to 0$ では分母 $\to 0$、分子 $\to 0$ となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0} -\frac{\log(\cos x)}{x} = \lim_{x \to 0} -\frac{\dfrac{-\sin x}{\cos x}}{1} = 0$

$\log y = 0$ から $y = \lim\limits_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x}} = 1$

(4)

$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$

$y=\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$ とおくと

$\log y=\lim_{x\to0}\log\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}=\lim_{x\to0}-\tan x\cdot\log x=\lim_{x\to0}-\frac{\log x}{\dfrac{1}{\tan x}}=\lim_{x\to0}-\frac{\log x}{\dfrac{\cos x}{\sin x}}$

$x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}-\frac{\log x}{\dfrac{\cos x}{\sin x}}=\lim_{x\to0}-\frac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x}}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x}{x}$

$x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2\sin x\cdot\cos x}{1}=0$

$\log y=0$から $y=\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}=1$

(5)

$\lim_{x\to+0}(\sin x)^x$

$y=\displaystyle\lim_{x\to+0}(\sin x)^x$ とおくと

$\log y=\lim_{x\to+0}\log(\sin x)^x=\lim_{x\to+0}x\log(\sin x)=\lim_{x\to+0}\frac{\log(\sin x)}{\dfrac{1}{x}}$

$x\to+0$では分母$\to\infty$、分子$\to-\infty$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to+0}\frac{\log(\sin x)}{\dfrac{1}{x}}=\lim_{x\to+0}\frac{\dfrac{\cos x}{\sin x}}{-\dfrac{1}{x^2}}=\lim_{x\to+0}-\frac{x^2\cos x}{\sin x}$

$x\to+0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to+0}-\frac{x^2\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to+0}-\frac{2x\cos x-x^2\sin x}{\cos x}=0$ $\log y=0$ から $y=\displaystyle\lim_{x\to+0}(\sin x)^x=1$