第2章 2.5

(1)

$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\left(\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1-\dfrac{x}{2}}{x^2}$

$x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1-\dfrac{x}{2}}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}-\dfrac{1}{2}}{2x}$

$x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}-\dfrac{1}{2}}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-\dfrac{1}{4\sqrt{(1+x)^3}}}{2}=-\frac{1}{8}$

(2)

$\lim_{x\to+0}(x\log x)=\lim_{x\to+0}\frac{\log x}{\dfrac{1}{x}}$

$x\to+0$では分母$\to\infty$、分子$\to-\infty$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to+0}\frac{\log x}{\dfrac{1}{x}}=\lim_{x\to+0}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}}=\lim_{x\to+0}-x=0$

(3)

$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-3x+2}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-3x+2}-x\right)\frac{\sqrt{x^2-3x+2}+x}{\sqrt{x^2-3x+2}+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3x+2}{\sqrt{x^2-3x+2}+x}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{-3+\dfrac{2}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+1}=-\frac{3}{2}$

(4)

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^2 \sin x}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^2 \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x\sin x + x^2\cos x}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x\sin x + x^2\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2\sin x + 2x\cos x + 2x\cos x - x^2\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2\sin x + 4x\cos x - x^2\sin x}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2\sin x + 4x\cos x - x^2\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2\cos x + 4\cos x - 4x\sin x - 2x\sin x - x^2\cos x} = \frac{1}{6}$

(5)

$\lim_{x \to \pm\infty} \left\{x - x^2\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\right\} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\dfrac{1}{x} - \log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x^2}}$

$x \to 0$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\dfrac{1}{x} - \log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{-\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x}}}{-\dfrac{2}{x^3}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\dfrac{1}{x^2}\left(-1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}\right)}{-\dfrac{2}{x^3}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1+\dfrac{x}{1+x}}{-\dfrac{2}{x}}$

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-\dfrac{1}{1+x}}{-\dfrac{2}{x}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{2(1+x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{2\left(\dfrac{1}{x}+1\right)} = \frac{1}{2}$

(6)

$\lim_{x \to \infty} x\left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\dfrac{\pi}{2} - \tan^{-1} x}{\dfrac{1}{x}}$

$x \to \infty$では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to \infty} \frac{\dfrac{\pi}{2} - \tan^{-1} x}{\dfrac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\dfrac{1}{1+x^2}}{-\dfrac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{1+x^2} = 1$