高専の数学解説

第2章 2.4

(1)

lim⁡x→0x−tan⁡xx(1−cos⁡x)\lim_{x\to0}\frac{x-\tan x}{x(1-\cos x)}

x→0x\to0では分母→0、分子→0となるのでロピタルの定理から

lim⁡x→0x−tan⁡xx(1−cos⁡x)=lim⁡x→01−1cos⁡2x(1−cos⁡x)+xsin⁡x\lim_{x\to0}\frac{x-\tan x}{x(1-\cos x)} = \lim_{x\to0}\frac{1-\dfrac{1}{\cos^2 x}}{(1-\cos x)+x\sin x}

x→0x\to0では分母→0、分子→0となるのでロピタルの定理から

lim⁡x→01−1cos⁡2x(1−cos⁡x)+xsin⁡x=lim⁡x→0−−2cos⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡4xsin⁡x+sin⁡x+xcos⁡x\lim_{x\to0}\frac{1-\dfrac{1}{\cos^2 x}}{(1-\cos x)+x\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{-\dfrac{-2\cos x\cdot(-\sin x)}{\cos^4 x}}{\sin x+\sin x+x\cos x}

x→0x\to0では分母→0、分子→0となるのでロピタルの定理から

lim⁡x→0−−2cos⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡4xsin⁡x+sin⁡x+xcos⁡x=lim⁡x→0−{(−2sin⁡2x+2cos⁡2x)⋅cos⁡4x−2cos⁡x⋅sin⁡x⋅4cos⁡3x⋅(−sin⁡x)}cos⁡8xcos⁡x+cos⁡x+cos⁡x−xsin⁡x\lim_{x\to0}\frac{-\dfrac{-2\cos x\cdot(-\sin x)}{\cos^4 x}}{\sin x+\sin x+x\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{-\{(-2\sin^2 x+2\cos^2 x)\cdot\cos^4 x-2\cos x\cdot\sin x\cdot4\cos^3 x\cdot(-\sin x)\}}{\cos^8 x}}{\cos x+\cos x+\cos x-x\sin x}

=−23=-\frac{2}{3}

(2)

lim⁡x→0log⁡(1+2x)x\lim_{x\to0}\frac{\log(1+2x)}{x}

x→0x\to0では分母→0、分子→0となるのでロピタルの定理から

lim⁡x→0log⁡(1+2x)x=lim⁡x→021+2x1=2\lim_{x\to0}\frac{\log(1+2x)}{x} = \lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac{2}{1+2x}}{1} = 2

(3)

lim⁡x→1log⁡xx2−4x+3\lim_{x\to1}\frac{\log x}{x^2-4x+3}

x→1x\to1では分母→0、分子→0となるのでロピタルの定理から

lim⁡x→1log⁡xx2−4x+3=lim⁡x→11x2x−4=−12\lim_{x\to1}\frac{\log x}{x^2-4x+3} = \lim_{x\to1}\frac{\dfrac{1}{x}}{2x-4} = -\frac{1}{2}

(4)

lim⁡x→π1+cos⁡x(x−π)sin⁡x\lim_{x \to \pi} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)\sin x}

x→πx \to \pi では分母 →0\to 0 、分子 →0\to 0 となるのでロピタルの定理から

lim⁡x→π1+cos⁡x(x−π)sin⁡x=lim⁡x→π−sin⁡xsin⁡x+(x−π)cos⁡x\lim_{x \to \pi} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)\sin x} = \lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x}{\sin x + (x-\pi)\cos x}

x→πx \to \pi では分母 →0\to 0 、分子 →0\to 0 となるのでロピタルの定理から

lim⁡x→π−sin⁡xsin⁡x+(x−π)cos⁡x=lim⁡x→π−cos⁡xcos⁡x+cos⁡x−(x−π)sin⁡x=−12\lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x}{\sin x + (x-\pi)\cos x} = \lim_{x \to \pi} \frac{-\cos x}{\cos x + \cos x - (x-\pi)\sin x} = -\frac{1}{2}

解説: r31bn1z