第2章 2.3

(1)

$\lim_{x\to0}\frac{x-\tan x}{\sin x}$ $x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{x-\tan x}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\dfrac{1}{\cos^2 x}}{\cos x}=0$

(2)

$\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cos x}{\sin x}$ $x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-(-\sin x)}{\cos x}=1$

(3)

$\lim_{x\to0}\frac{3^x-1}{x}$ $x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{3^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3^x\log3}{x}=\log3$

(4)

$\lim_{x\to1}\frac{\log x}{1-x}$ $x\to1$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to1}\frac{\log x}{1-x}=\lim_{x\to1}\frac{\dfrac{1}{x}}{-1}=-1$

(5)

$\lim_{x\to0}\frac{\log(\cos x)}{x^2}$ $x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{\log(\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{1}{\cos x}(-\sin x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-\tan x}{2x}$

$x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{\log(\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\tan x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-\dfrac{1}{\cos^2 x}}{2}=-\frac12$

(6)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

$x \to \infty$ では分母 $\to \infty$ 、分子 $\to \infty$ となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$

$x \to \infty$ では分母 $\to \infty$ 、分子 $\to \infty$ となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$