第2章 2.2

(1)

$\lim_{x\to1}\frac{x^2-4x+3}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-3)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{x-3}{2x+1}=-\frac{2}{3}$

(2)

$\lim_{x\to3}\frac{x^3-x^2-7x+3}{x^3-8x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x^2+2x-1)}{(x-3)(x^2+3x+1)}=\lim_{x\to3}\frac{x^2+2x-1}{x^2+3x+1}=\frac{14}{19}$

(3)

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$

$x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}$

$x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}$

(4)

$\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin^{-1}x}$

$x\to0$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin^{-1}x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=1$

(5)

$\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{x-4}-2}{x-8}$

$x\to8$では分母$\to0$、分子$\to0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{x-4}-2}{x-8}=\lim_{x\to8}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x-4}}}{1}=\frac{1}{4}$

(6)

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$

$x\to\infty$では分母$\to\infty$、分子$\to\infty$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}=1$