第1章 1.30

(1)

$P$ が $x$ 軸上を通るので $y=0$ である

$y = at\sin\theta - bt^2 = 0 \qquad bt^2 = at\sin\theta \qquad \therefore t = \frac{a}{b}\sin\theta$

これを $x$ の式に代入して

$x = \frac{a^2}{b}\sin\theta\cdot\cos\theta \qquad x' = \frac{a^2}{b}(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

$x'=0 \text{のとき} \qquad \frac{a^2}{b}(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=0 \qquad \cos\theta=\sin\theta \qquad \therefore \theta=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\frac{\pi}{4} \text{のとき} \qquad x=\frac{a^2}{b}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{a^2}{2b}$

(2)

$P$ が直線 $x=c$ 上を通るので $x=c$ のとき

$x = at\cos\theta = c \qquad \text{両辺を２\text{乗して}}$

$a^2t^2\cos^2\theta = c^2 \qquad \cos^2\theta = \frac{c^2}{a^2t^2} \qquad ①$

$y = at\sin\theta - bt^2 \qquad (y+bt^2) = at\sin\theta \qquad \text{両辺を２\text{乗して}}$

$(y+bt^2)^2 = a^2t^2\sin^2\theta = a^2t^2(1-\cos^2\theta) \qquad ②$

$①\text{を}②\text{に代入して} \qquad (y+bt^2)^2 = a^2t^2\left(1-\frac{c^2}{a^2t^2}\right) = a^2t^2-c^2$

$y+bt^2 = \sqrt{a^2t^2-c^2} \qquad y = \sqrt{a^2t^2-c^2}-bt^2 \qquad ③$

$y' = \frac{a^2t}{\sqrt{a^2t^2-c^2}} - 2bt \qquad y'=0 \text{のとき} \qquad a^2t-2bt\sqrt{a^2t^2-c^2}=0$

$a^2=2b\sqrt{a^2t^2-c^2} \qquad \text{両辺を２\text{乗して}} \qquad a^4=4b^2(a^2t^2-c^2) \qquad \therefore t^2=\frac{a^4+4b^2c^2}{4a^2b^2}$

これを③に代入して

$y = \sqrt{\frac{a^2(a^4+4b^2c^2)}{4a^2b^2}-c^2} - \frac{a^4+4b^2c^2}{4a^2b} = \frac{a^4-4b^2c^2}{4a^2b}$