高専の数学解説

第1章 1.29

(1)

y=eaxlog⁡xy = e^{ax} \log x

y′=aeaxlog⁡x+eax1xy' = ae^{ax} \log x + e^{ax} \frac{1}{x}

x=ex = e のとき y′=aeae+eae−1y' = ae^{ae} + e^{ae-1}

y′′=a2eaxlog⁡x+aeax1x+aeaxx−eaxx2y'' = a^2 e^{ax} \log x + ae^{ax} \frac{1}{x} + \frac{ae^{ax}x - e^{ax}}{x^2}

x=ex = e のとき y′′=a2eae+aeae−1+aeae−1−eae−2y'' = a^2 e^{ae} + ae^{ae-1} + ae^{ae-1} - e^{ae-2}

y′=y′′y' = y'' から aeae+eae−1=a2eae+aeae−1+aeae−1−eae−2ae^{ae} + e^{ae-1} = a^2 e^{ae} + ae^{ae-1} + ae^{ae-1} - e^{ae-2}

a+1e=a2+ae+ae−1e2a + \frac{1}{e} = a^2 + \frac{a}{e} + \frac{a}{e} - \frac{1}{e^2} a2+a(2e−1)−(1e2+1e)=0a^2 + a(\frac{2}{e} - 1) - (\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e}) = 0

この２次式の判別式は

(1−2e)2+4(1e2+1e)=1−4e+4e2+4e2+4e=1+8e2>0(1 - \frac{2}{e})^2 + 4(\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e}) = 1 - \frac{4}{e} + \frac{4}{e^2} + \frac{4}{e^2} + \frac{4}{e} = 1 + \frac{8}{e^2} > 0 よって２つの実数解を持つ

２つの解をそれぞれ α,β\alpha, \beta とおくと

α⋅β=−(1e2+1e)\alpha \cdot \beta = -(\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e}) から α\alpha と β\beta の符号は異なる

(1)

から(α−β)2=1+8e2>2(\alpha - \beta)^2 = 1 + \frac{8}{e^2} > 2　　よって平均値は正、及び2\sqrt{2}以上離れている

○(α−β)2=1+8e2(\alpha - \beta)^2 = 1 + \frac{8}{e^2} （判別式と同じになる理由）

今２つの解をα,β\alpha, \betaとしているので方程式は (x−α)(x−β)=0(x - \alpha)(x - \beta) = 0 と考えられる。

展開すると x2−(α+β)x+αβ=0x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0

解の公式から x=(α+β)±(α+β)2−4αβ2x = \frac{(\alpha + \beta) \pm \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}}{2}

この判別式は (α+β)2−4αβ=α2+2αβ+β2−4αβ=α2−2αβ+β2=(α−β)2(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 - 4\alpha\beta = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha - \beta)^2

解説: r31bn1z