高専の数学解説

第1章 1.19

(1)

sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x

sin⁡−1(−x)=ω\sin^{-1}(-x) = \omega として sin⁡ω=−x\sin\omega = -x

−sin⁡−1x=l-\sin^{-1}x = l として sin⁡(−l)=−sin⁡l=x\sin(-l) = -\sin l = x sin⁡l=−x\sin l = -x

よって sin⁡l=sin⁡ω\sin l = \sin\omega なので与式は成り立つ。

(2)

cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x

cos⁡−1(−x)=ω\cos^{-1}(-x) = \omega として cos⁡ω=−x\cos\omega = -x

π−cos⁡−1x=l\pi - \cos^{-1}x = l として cos⁡(π−l)=cos⁡(−l)=−cos⁡l=x\cos(\pi - l) = \cos(-l) = -\cos l = x cos⁡l=−x\cos l = -x

よって cos⁡l=cos⁡ω\cos l = \cos\omega なので与式は成り立つ。

(3)

tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x

tan⁡−1(−x)=ω\tan^{-1}(-x) = \omega として tan⁡ω=−x\tan\omega = -x

−tan⁡−1x=l-\tan^{-1}x = l として tan⁡(−l)=−tan⁡l=x\tan(-l) = -\tan l = x tan⁡l=−x\tan l = -x

よって tan⁡l=tan⁡ω\tan l = \tan\omega なので与式は成り立つ。

(4)

sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}

sin⁡−1(−x)=ω\sin^{-1}(-x) = \omega として sin⁡ω=cos⁡(π2−ω)=−x\sin\omega = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \omega\right) = -x

cos⁡−1x=π2−ω=π2−sin⁡−1x\cos^{-1}x = \dfrac{\pi}{2} - \omega = \dfrac{\pi}{2} - \sin^{-1}x

よって与式は成り立つ。

解説: r31bn1z