第1章 1.20

(1)

$x < \tan x \qquad \left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$

$\tan x - x > 0$ となればよい

左辺 $= y = \tan x - x$ として

$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$

$y'=0$ のとき $\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 = 0$ $\cos^2 x = 1$ $x = -\pi, 0, \pi$

$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ から $\therefore x \cong 0$

よって $\tan x - x > 0$ が成り立つので与式は成り立つ。

(2)

$\tan x - x < 0 \qquad \left(-\frac{\pi}{2} < x < 0\right)$

(1)

と同様に考えると

よって $\tan x - x < 0$ が成り立つので与式は成り立つ。

(3)

$\tan^{-1} x < x \qquad (0 < x < \infty)$

$\tan^{-1} x - x < 0 \text{ となればよい}$

左辺 $= y = \tan^{-1} x - x$ として

$y' = \frac{1}{1+x^2} - 1 = \frac{-x^2}{1+x^2}$

$y'=0$ のとき $\dfrac{-x^2}{1+x^2}=0$ $\therefore x \cong 0$

よって $\tan^{-1} x - x < 0$ が成り立つので与式は成り立つ。