第1章 1.18

(1)

$y = 15x + 6x^2 - x^3 - 20$

$y' = 15 + 12x - 3x^2 \qquad y'' = 12 - 6x$

$y'=0$ のとき $15+12x-3x^2=0$ $3(5-x)(1+x)=0$ $\therefore x=-1,5$

$x=-1$ のとき $y''=12+6=18>0$ （極小）

$x=5$ のとき $y''=12-30=-18<0$ （極大）

$y''=0$ のとき $12-6x=0$ $\therefore x=2$

(2)

$y = x^4 - 6x^2 + 8x$

$y' = 4x^3 - 12x + 8 \qquad y'' = 12x^2 - 12$

$y'=0$ のとき $4x^3-12x+8=0$ $4(x-1)(x-1)(x+2)=0$ $\therefore x=-2,1$

$x=-2$ のとき $y''=42-12=36>0$ （極小）

$x=1$ のとき $y''=12-12=0$

$y''=0$ のとき $12x^2=12$ $\therefore x=\pm1$

(3)

$y = (x-5)^2 \sqrt{x} \qquad （\text{定義域} x \geq 0）$

$y' = 2(x-5)\sqrt{x} + (x-5)^2 \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y'' = 2\sqrt{x} + 2(x-5)\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2(x-5)\frac{1}{2\sqrt{x}} + (x-5)^2\left(-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}\right) = 2\sqrt{x} + (x-5)\frac{2}{\sqrt{x}} - (x-5)^2 \frac{1}{4\sqrt{x^3}}$

$y'=0$ のとき

$2(x-5)\sqrt{x} + (x-5)^2 \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \qquad (x-5)\left\{2\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}(x-5)\right\} = 0$

$2\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}(x-5) = \frac{4x+x-5}{2\sqrt{x}} = \frac{5x-5}{2\sqrt{x}} \qquad (x-5)\frac{5x-5}{2\sqrt{x}} = 0 \qquad \therefore x = 5, 1$

$x=1$ のとき $y'' = -10 < 0$ （極大）

$x=5$ のとき $y'' = 2\sqrt{5} > 0$ （極小）

$y''=0$ のとき

$2\sqrt{x} + (x-5)\frac{2}{\sqrt{x}} - (x-5)^2 \frac{1}{4\sqrt{x^3}} = \frac{15x^2-30x-25}{4\sqrt{x^3}} = 0 \qquad 3x^2-6x-5=0$

$x = 1 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6} \qquad x \geq 0 \text{から} \qquad \therefore x = 1 + \frac{2}{3}\sqrt{6}$

(4)

$y = \frac{1-\sin x}{\cos x} \qquad (\text{定義域} \ \cos x \neq 0)$

$y' = \frac{-\cos x \cdot \cos x + (1-\sin x)\cdot \sin x}{\cos^2 x} = \frac{-\cos^2 x + \sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x - 1}{1-\sin^2 x}$

$= \frac{\sin x - 1}{-(\sin x -1)(\sin x+1)} = -\frac{1}{\sin x+1}$

$y'' = -\frac{-\cos x}{(\sin x+1)^2} = \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}\cdot\frac{1-\sin x}{1-\sin x} = \frac{\cos x\cdot(1-\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin^2 x)} = \frac{\cos x\cdot(1-\sin x)}{(1+\sin x)\cos^2 x} = \frac{1-\sin x}{\cos x\cdot(1+\sin x)}$

$y'=0$ のとき $-\dfrac{1}{\sin x+1}=0$ ∴解なし

$y''=0$ のとき $\dfrac{1-\sin x}{\cos x\cdot(1+\sin x)}=0$ $1-\sin x=0$ ∴$x=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2}{3}\pi$ （定義域外である）