第18章 18.25

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$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$

$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $a = -\frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$

これから $x_3 = \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2$、$x_4 = -\frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2$ よって $L[x_3, x_4] \subset L[x_1, x_2]$

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $c = 1, d = -1$

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $c = 1, d = 1$

これから $x_1 = x_3 - x_4$、$x_2 = x_3 + x_4$ よって $L[x_1, x_2] \subset L[x_3, x_4]$

ゆえに $L[x_1, x_2] = L[x_3, x_4]$