第18章 18.26

$W_1 \cap W_2$ について

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって次元は１である

２つの部分空間 $W_1, W_2$ に対してそれぞれ

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

が考えられる

ここで $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$ であるので

$\dim(W_1 + W_2) = 2 + 2 - 1 = 3$

よって次元は３である

このとき基底は $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ が求められる