第18章 18.24

(1)

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -12 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

$\text{よって } x = c \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\therefore W^+ = \left\{ x \left| x = c \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \right. \right\}$

(2)

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -12 \\ -13 \end{bmatrix} \quad \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 4 + 3 - 1 + 48 = 54$

クラメルの公式から

$x_1 = \frac{1}{54} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -12 & 1 & -4 \\ -13 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{54}(1 + 52 - 36 + 13 + 12 + 12) = \frac{1}{54} \cdot 54 = 1$

$x_2 = \frac{1}{54} \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -12 & -4 \\ 0 & -13 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{54}(-48 - 13 - 1 - 208) = \frac{1}{54}(-270) = -5$

$y_1 = \frac{1}{54} \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -12 \\ 0 & 3 & -13 \end{vmatrix} = \frac{1}{54}(-52 + 3 + 13 + 144) = \frac{1}{54} \cdot 108 = 2$

$x = x_1 a + x_2 b = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -15 \end{pmatrix} \quad v = y_1 \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \end{pmatrix}$