第18章 18.22

(1)

$\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

これから

$x_0 = C \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ （$C$は任意）

(2)

$\tilde{x}-\tilde{x}' // x_0$ であるので $\tilde{x}-\tilde{x}'$は$x_0$の定数倍であることがわかる

$f(\tilde{x}-\tilde{x}') = f(kx_0) = 0$ これから $f(\tilde{x}) = f(\tilde{x}')$ となる

(3)

$z = (z_1, z_2, z_3)$とおくと $z \perp x_0$ であるので

$-z_1 + 2z_2 + z_3 = 0$ となる

(4)

もし$f$によって異なるベクトルに写されるなら$f(\tilde{z}) \neq f(\tilde{z}')$

(2)から $z - z' // x_0$ なら $f(\tilde{z}) = f(\tilde{z}')$ であるが

$\tilde{z} - \tilde{z}'$ と $x_0$ の内積において(3)から

$-(z_1 - z'_1) + 2(z_2 - z'_2) + (z_3 - z'_3) = (-z_1 + 2z_2 + z_3) + (-z'_1 + 2z'_2 + z'_3) = 0$

これから$z - z'$ ⊥ $x_0$ であるので、$z - z' // x_0$ とならない

よって$f(\tilde{z}) \neq f(\tilde{z}')$