高専の数学解説

第18章 18.21

(1)

A=[1110021000100214]→[1100020000100204]→[1100010000100102]→[1000010000100001]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

これから rank=4\text{rank} = 4

(2)

A−1=1∣A∣[a11−a12a13−a14−a21a22−a23a24a31−a32a33−a34−a41a42−a43a44]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} a_{11} & -a_{12} & a_{13} & -a_{14} \\ -a_{21} & a_{22} & -a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & -a_{32} & a_{33} & -a_{34} \\ -a_{41} & a_{42} & -a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}

と する と

∣A∣=8|A| = 8

a11=∣210010214∣=8a12=∣110010214∣=4a13=∣110210214∣=−4a14=∣110210010∣=0a_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 8 \quad a_{12} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 \quad a_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = -4 \quad a_{14} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0

a21=∣010010014∣=0a22=∣110010014∣=4a23=∣110010014∣=4a24=∣110010010∣=0a_{21} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 0 \quad a_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 \quad a_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 \quad a_{24} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0

a31=∣020000024∣=0a32=∣110000024∣=0a33=∣110020024∣=8a34=∣110020000∣=0a_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \quad a_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \quad a_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8 \quad a_{34} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0

a41=∣021001021∣=0a42=∣111001021∣=−2a43=∣110021020∣=0a44=∣111021001∣=2a_{41} = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \quad a_{42} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \quad a_{43} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad a_{44} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2

これから

A−1=14[4−2−2002−2000400−101]A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 4 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

と なる

(3)

∣A−λE∣=∣1−λ11002−λ10001−λ00214−λ∣=(1−λ)∣2−λ1001−λ0214−λ∣=(1−λ)2(2−λ)(4−λ)=0|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}1-\lambda & 1 & 1 & 0\\0 & 2-\lambda & 1 & 0\\0 & 0 & 1-\lambda & 0\\0 & 2 & 1 & 4-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda & 1 & 0\\0 & 1-\lambda & 0\\2 & 1 & 4-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2(2-\lambda)(4-\lambda)=0

これから λ=1,2,4\lambda=1,2,4 よって固有値は1,2,4

(4)

λ=1\lambda=1のとき

[0110011000000213]→[01100000000000−13]→[011000000000001−3]→[010300000000001−3]\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 1 & 3\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 3\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 3\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}

これから p=[1000],[0−331]\text{これから }p=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\-3\\3\\1\end{bmatrix}

λ=2\lambda=2のとき

[−1110001000−100212]→[1−1−10001000−100212]→[1100001000000202]→[1100001000000101]→[100−1010100100000]\begin{bmatrix}-1 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & 0\\0 & 2 & 1 & 2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & 0\\0 & 2 & 1 & 2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

→[100−1010100100000] これから p=[1−101]\to\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\text{ これから }p=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\\1\end{bmatrix}

λ=4\lambda=4のとき

[−31100−21000−300210]→[−31100−21000100210]→[−31000−20000100200]→[1000010000100000]\begin{bmatrix}-3 & 1 & 1 & 0\\0 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & -3 & 0\\0 & 2 & 1 & 0\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}-3 & 1 & 1 & 0\\0 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 2 & 1 & 0\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}-3 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

これから p=[0001]\text{これから }p=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}

重解において固有ベクトルが2つ、他の各固有値についても固有ベクトルが存在するので対角化可能

(4)

から P=[10100−3−1003000111]P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} として

P−1AP=[1000010000200004]P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

解説: r31bn1z