第18章 18.20

(1)

$|A| = \begin{vmatrix} a & -a & a & -a \\ -a & 1 & -a & 1 \\ a & -1 & a^2 & -1 \\ -a & 1 & -a^2 & -a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & -a & a & -a \\ 0 & 1-a & 0 & 1-a \\ 0 & -1+a & a^2-a & -1+a \\ 0 & 1-a & -a^2+a & -2a \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} 1-a & 0 & 1-a \\ -1+a & a^2-a & -1+a \\ 1-a & -a^2+a & -2a \end{vmatrix}$

$= a \begin{vmatrix} 1-a & 0 & 1-a \\ 0 & a^2-a & 0 \\ 0 & -a^2+a & -1-a \end{vmatrix} = a(1-a) \begin{vmatrix} a^2-a & 0 \\ -a^2+a & -1-a \end{vmatrix} = a(1-a) \cdot (a^2-a) \cdot (-1-a)$

$= a^2(1-a)^2(1+a)$

(2)

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}$

なので $\frac{1}{|A|} \neq 0$ であれればよいので

(1)

から $a \neq 0, 1, -1$

(3)

$A = \begin{bmatrix} a & -a & a & -a \\ -a & 1 & -a & 1 \\ a & -1 & a^2 & -1 \\ -a & 1 & -a^2 & -a \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} a & -a & a & -a \\ 0 & 1-a & 0 & 1-a \\ 0 & -1+a & a(1+a) & -1+a \\ 0 & 1-a & a(1-a) & -2a \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a & \frac{2a}{1-a} \end{bmatrix}$

$\to \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & \frac{2a}{1-a} \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & \frac{a+1}{1-a} \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a & -\frac{a+1}{1-a} \end{bmatrix}$

$\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{a+1}{1-a} \end{bmatrix}$

これから $\text{rank} = 3$ となるには $-\frac{a+1}{1-a} = 0$ となればよいので $\therefore a = -1$

(3)

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$ から

$\bar{x} = C \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\therefore \ker f = [-e_2 + e_4]$