高専の数学解説

第18章 18.17

(1)

∣1113a−10a−230211−10−3∣=∣11130−1−a−a−2a−20−3−1−80−2−1−6∣=∣−1−a−a−2a−2−3−1−8−2−1−6∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ a & -1 & 0 & a-2 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1-a & -a & -2a-2 \\ 0 & -3 & -1 & -8 \\ 0 & -2 & -1 & -6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1-a & -a & -2a-2 \\ -3 & -1 & -8 \\ -2 & -1 & -6 \end{vmatrix}

=−6(1+a)−3⋅(2a+2)−16a+2(2a+2)+8(1+a)+18a=2a= -6(1+a)-3\cdot(2a+2)-16a+2(2a+2)+8(1+a)+18a = 2a

(2)

[11130−1−a−a−2a−20−3−1−80−2−1−6]→[11130a+1a2a+203180216]→[1113021603180a+1a2a+2]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1-a & -a & -2a-2 \\ 0 & -3 & -1 & -8 \\ 0 & -2 & -1 & -6 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & a+1 & a & 2a+2 \\ 0 & 3 & 1 & 8 \\ 0 & 2 & 1 & 6 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 1 & 8 \\ 0 & a+1 & a & 2a+2 \end{bmatrix}

→[1−10−3021601020−a+10−4a+2]→[100−100120102000−2a]→[100−101020012000−2a]\to \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -a+1 & 0 & -4a+2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2a \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2a \end{bmatrix}

a=0a = 0 のとき

[100−1010200120000]よって[xyz]=[−122]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{よって} \quad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}

a≠0a \neq 0 のとき係数行列と拡大係数行列のrankが異なるため解を持たない

解説: r31bn1z