第18章 18.18

(2)

ただ1つの解を持つ：係数行列の rank = 変数の数 = 3

$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 2 & a & -1 \\ 1 & 2 & a \end{array}\right| \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 0 & a & 5 \\ 0 & 2 & a+3 \end{array}\right| \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & \frac{5}{a} \\ 0 & 2 & a+3 \end{array}\right| \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & \frac{5}{a} \\ 0 & 0 & a+3-\frac{10}{a} \end{array}\right|$

$a+3-\frac{10}{a} \neq 0$, $a^2+3a-10 \neq 0$, $(a+5)(a-2) \neq 0$, $\therefore a \neq 2,-5$

[2] 2つ以上の解を持つ：係数行列の rank < 拡大係数行列の rank < 変数の数=3

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -3 & -3 \\ 2 & a & -1 & -2 \\ 1 & 2 & a & 1 \end{array}\right) \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & a & 5 & 4 \\ 0 & 2 & a+3 & 4 \end{array}\right) \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & \frac{5}{a} & \frac{4}{a} \\ 0 & 2 & a+3 & \frac{a}{4} \end{array}\right) \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & \frac{5}{a} & \frac{4}{a} \\ 0 & 0 & a+3-\frac{10}{a} & 4-\frac{8}{a} \end{array}\right)$

$a+3-\frac{10}{a} = 0$, $a = 2,-5$

$4-\frac{8}{a} = 0$, $4a-8 = 0$, $a = 2$, これから, $\therefore a = 2$

[3] 解を持たない：係数行列の rank < 拡大係数行列の rank

[2]から $a+3-\frac{10}{a} = 0$, $a = 2,-5$

$4-\frac{8}{a} \neq 0$, $a \neq 2$, これから, $\therefore a = -5$