高専の数学解説

第18章 18.4

(1)

∣a⃗b⃗c⃗∣=∣1232−1−445−6∣=6+30+(−32)+12+20+24=60≠0\begin{vmatrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -4 \\ 4 & 5 & -6 \end{vmatrix} = 6 + 30 + (-32) + 12 + 20 + 24 = 60 \neq 0

より１次独立

v⃗=pa⃗+qb⃗+rc⃗\vec{v} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c} とおくと

(1232−1−445−6)(pqr)=(4137)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -4 \\ 4 & 5 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 13 \\ 7 \end{pmatrix}

[12342−1−41345−67]→[12340−5−1050−3−18−9]→[1234012−10163]→[10−16012−10044]\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & -4 & 13 \\ 4 & 5 & -6 & 7 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -10 & 5 \\ 0 & -3 & -18 & -9 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 6 & 3 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right]

→[10−16012−10011]→[1007010−30011]\to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]

これから p=7,q=−3,r=1p = 7, q = -3, r = 1 となり v⃗=7a⃗−3b⃗+c⃗\vec{v} = 7\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c} となる

(2)

∣a⃗b⃗c⃗∣=∣143231329∣=27+12+12−27−2−72=−50≠0\begin{vmatrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 9 \end{vmatrix} = 27 + 12 + 12 - 27 - 2 - 72 = -50 \neq 0

より１次独立

v⃗=pa⃗+qb⃗+rc⃗\vec{v} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c} とおくと

(143231329)(pqr)=(8114)\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \\ 4 \end{pmatrix}

[1438231113294]→[14380−5−5−50−100−20]→[143801020111]→[10300102001−1]\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 8 \\ 2 & 3 & 1 & 11 \\ 3 & 2 & 9 & 4 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 8 \\ 0 & -5 & -5 & -5 \\ 0 & -10 & 0 & -20 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]

→[10030102001−1]\to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]

これから p=3,q=2,r=−1p = 3, q = 2, r = -1 となり v⃗=3a⃗+2b⃗−c⃗\vec{v} = 3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} となる

解説: r31bn1z