第17章 17.34

$|A| = a - b^2 - c^2 > 0$

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} a - \lambda & b & c \\ b & 1 - \lambda & 0 \\ c & 0 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (a - \lambda)(1 - \lambda)^2 - c^2(1 - \lambda) - b^2(1 - \lambda)$

$= -\lambda^3 + (a + 2)\lambda^2 - (2a + 1 - c^2 - b^2)\lambda + (a - c^2 - b^2)$

$= -(\lambda - 1)\{\lambda^2 - (a + 1)\lambda + (a - c^2 - b^2)\} = 0$

$\therefore x = 1, \frac{(a + 1) \pm \sqrt{(a + 1)^2 - 4(a - c^2 - b^2)}}{2}$

ここで

$\frac{(a+1)+\sqrt{(a+1)^2-4(a-c^2-b^2)}}{2} + \frac{(a+1)-\sqrt{(a+1)^2-4(a-c^2-b^2)}}{2} = (a+1)$

$a > -1かつ 2つの解の和が正$

$\frac{(a+1)+\sqrt{(a+1)^2-4(a-c^2-b^2)}}{2} \times \frac{(a+1)-\sqrt{(a+1)^2-4(a-c^2-b^2)}}{2}$

$= \frac{1}{4}\{(a+1)^2 - [(a+1)^2 - 4(a-c^2-b^2)]\} = a - c^2 - b^2$

$a - c^2 - b^2 > 0 から 2つの解の積が正$

よって固有値がすべて正となる