第17章 17.33

(1)

$|A + A| + |A - A| = \left|\begin{matrix} a_1 + a_1 & a_2 + a_3 \\ a_3 + a_2 & a_4 + a_4 \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_1 - a_1 & a_2 - a_3 \\ a_3 - a_2 & a_4 - a_4 \end{matrix}\right|$

$= \left(\left|\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_1 & a_3 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_4 \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_1 & a_3 \\ a_2 & a_4 \end{matrix}\right|\right) + \left(\left|\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_1 & -a_1 \\ -a_3 & -a_4 \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} -a_1 & a_2 \\ -a_2 & a_4 \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} -a_1 & -a_3 \\ -a_2 & -a_4 \end{matrix}\right|\right)$

$= 4\left|\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right| = 4|A|$

$|A + A^{-1}| + |A - A^{-1}| = 2|A| + 2|A^{-1}| = 2\left(|A| + \frac{1}{|A|}\right) \quad \text{（１７．３２（１）\text{と同様の考え方}）}$

(2)

$B$ の固有値が1,2 であるので

$|B - \lambda E| = (1 - \lambda)(2 - \lambda) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix}$

となり $\therefore B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ と仮定できる

$|B^2 - 3B| = \left|\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}\right| = \left|\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\right| = 4$