第17章 17.32

(1)

$|A+B| + |A-B| = \begin{vmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 \\ a_3+b_3 & a_4+b_4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1-b_1 & a_2-b_2 \\ a_3-b_3 & a_4-b_4 \end{vmatrix}$

$= \left( \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{vmatrix} \right) + \left( \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & -b_2 \\ a_3 & -b_4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -b_1 & a_2 \\ -b_3 & a_4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -b_1 & -b_2 \\ -b_3 & -b_4 \end{vmatrix} \right)$

$= 2\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{vmatrix} = 2|A| + 2|B|$

(2)

$B$が正則でないので$|B| = 0$となる。

(1)

から$|A+B| + |A-B| = 2|A| + 2|B| = 2|A| \neq 0$

となるので $A+B, A-B$の少なくとも1つは0でないい、つまり正則であることになる

(3)

$(A+B)A^{-1}(A-B) = (E + BA^{-1})(A-B) = A - B + B - BA^{-1}B = A$

よって正則である

(4)

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & A+B \\ B & A+B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A-B & 0 \\ B & A+B \end{vmatrix} = |A-B||A+B| \neq 0$

よって正則である