第17章 17.35

問題集 p.180 解答のヒントより

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & -a \\ a & 1 & a \\ -a & a & 1 \end{pmatrix}$ として この行列の固有値が全て正が必要十分条件であるので

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & a & -a \\ a & 1-\lambda & a \\ -a & a & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^3 - 2a^3 - 3a^2(1-\lambda) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 + (3a^2 - 3)\lambda - (2a^3 + 3a^2 - 1)$

$= -[\lambda^3 - 3\lambda^2 - (3a^2 - 3)\lambda + (a+1)^2(2a-1)]$

$= -(\lambda - \alpha)(\lambda - \beta)(\lambda - \gamma) = -[\lambda^3 - (\alpha + \beta + \gamma)\lambda^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\lambda - \alpha\beta\gamma]$

これから

$\alpha + \beta + \gamma = 3$ $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -(3a^2 - 3)$ $\alpha\beta\gamma = (a+1)^2(2a-1)$

この３式より

$\alpha = a + 1$ $\beta = a + 1$ $\gamma = -2a + 1$ が求まる

よって

$|A - \lambda E| = -(\lambda - a - 1)^2(\lambda + 2a - 1)$ $\lambda = a + 1, -2a + 1$

これが正であるので $a + 1 > 0$ $-2a + 1 > 0$ $\therefore -1 < a < \frac{1}{2}$