第17章 17.7

(1)

$|4-\lambda| = \begin{vmatrix} 5-\lambda & -1 \\ 6 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)(-2-\lambda)+6 = \lambda^2 - 3\lambda - 10 + 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda-4)(\lambda+1) = 0$

$\lambda = -1,4$

$\lambda = -1$のとき $\begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ このとき $p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\lambda = 4$のとき $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ このとき $p_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これから $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$

(2)

$|4-\lambda| = \begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 2 = 0 \quad \lambda = \pm\sqrt{2}$

$\lambda = -\sqrt{2}$のとき $\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 \\ 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ このとき $p_1 = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = \sqrt{2}$のとき $\begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 2 \\ 1 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -1 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ このとき $p_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}$

これから $P = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\sqrt{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(3)

$|4-\lambda| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ -2 & -3-\lambda \end{vmatrix} = \lambda(3+\lambda)+2 = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = (\lambda+2)(\lambda+1) = 0 \quad \lambda = -2,-1$

$\lambda = -1$のとき $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ このとき $p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\lambda = -2$のとき $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ このとき $p_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ これから $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$