第17章 17.6

(1)

$^t(^tA) = A$

$^tA$ は $A$ の行と列を入れ替えたもので、さらに行と列を入れ替えるので元に戻る。

よって与式は成り立つ。

(2)

$^t(A+B) = {^t}A + {^t}B$

$A = (a_{ij})$ $B = (b_{ij})$ の行列であるとき

$^t(A+B) \to {^t}(a_{ij} + b_{ij})_{ij} = (a_{ij} + b_{ij})_{ji} \to (a_{ji} + b_{ji})_{ij}$

$^tA + {^t}B \to ({^t}(a_{ij}) + {^t}(b_{ij}))_{ij} = (a_{ji} + b_{ji})_{ij}$

よって与式は成り立つ

(3)

$^t(kA) = k {^t}A$

$^t(kA) \to {^t}(ka_{ij}) = k {^t}(a_{ij})$

$k$ は任意の数であるので行列の前に出すことが出来る。よって与式は成り立つ。

(4)

問題集の p172 の解答で

3行目の $\sum_j b_{jk}a_{ij} = \sum_j a_j b_{jk}$ は $a_{ij}, b_{jk}$ それぞれ行列内の１つの成分で

掛け算の順番を入れ替えることが出来る

(5)

問題集の p172 の解答で

$^t(A^{-1}) {^t}A = E$ の両辺に左から $^tA^{-1}$ を掛けると $^t(A^{-1}) {^t}A {^t}A^{-1} = E {^t}A^{-1}$ $^t(A^{-1}) = {^t}A^{-1}$

となる

の問題より

${}^t(A+B) = {}^tA + {}^tB$

${}^t(AB) = {}^tB {}^tA$ となるので

${}^t(ST - TS) = {}^t(ST) - {}^t(TS) = {}^tT{}^tS - {}^tS{}^tT = {}^tT{}^tS - {}^tS{}^tT = -TS + ST = ST - TS$ よって対称行列

${}^t(ST + TS) = {}^t(ST) + {}^t(TS) = {}^tT{}^tS + {}^tS{}^tT = -TS - ST = -(ST + TS)$ よって交代行列

${}^t(STST + TSTS) = {}^t(STST) + {}^t(TSTS) = {}^tT{}^tS{}^tT{}^tS + {}^tS{}^tT{}^tS{}^tT = TSTS + STST = STST + TSTS$

よって対称行列