第17章 17.8

(1)

$|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}1-\lambda & 2\\2 & -2-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)(-2-\lambda)-4=-2-\lambda+2\lambda+\lambda^2-4=\lambda^2+\lambda-6=(\lambda-2)(\lambda+3)=0$

$\lambda=-3,2$

$\lambda=-3\text{のとき}\quad\begin{pmatrix}4 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}2 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{これから}\quad p_1=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\quad\text{単位固有ベクトルは}\quad p_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$

$\lambda=2\text{のとき}\quad\begin{pmatrix}-1 & 2\\2 & -4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-1 & 2\\0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{これから}\quad p_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\quad\text{単位固有ベクトルは}\quad p_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

$\text{これから}P=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2 & -1\\1 & 2\end{pmatrix}\quad\text{対角化すると}\quad{}^tPAP=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & -3\end{pmatrix}$

(2)

$|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}9-\lambda & 12\\12 & 16-\lambda\end{vmatrix}=(9-\lambda)(16-\lambda)-144=144-25\lambda+\lambda^2-144=\lambda^2-25\lambda=0$

$\lambda=0,25$

$\lambda=0\text{のとき}\quad\begin{pmatrix}9 & 12\\12 & 16\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3 & 4\\0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{これから}\quad p_1=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\quad\text{単位固有ベクトルは}\quad p_1=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$

$\lambda=25\text{のとき}\quad\begin{pmatrix}-16 & 12\\12 & 9\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}4 & -3\\0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{これから}\quad p_2=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\quad\text{単位固有ベクトルは}\quad p_2=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$

$\text{これから}P=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4 & 3\\-3 & 4\end{pmatrix}\quad\text{対角化すると}\quad{}^tPAP=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 25\end{pmatrix}$

(3)

$|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}2-\lambda & 1\\1 & 2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)^2-1=4-4\lambda+\lambda^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-3)(\lambda-1)=0$

$\lambda=1,3$

$\lambda=1\text{のとき}\quad\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{これから}\quad p_1=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\quad\text{単位固有ベクトルは}\quad p_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$

λ = 3のとき $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ これからから $p_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 単位固有ベクトルは $p_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これからP = $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 対角化すると $^tPAP = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(4)

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 \\ -1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 - 1 = 9 - 6\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 4)(\lambda - 2) = 0$

λ = 2, 4

λ = 2のとき $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ これからから $p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 単位固有ベクトルは $p_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

λ = 4のとき $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ これからから $p_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 単位固有ベクトルは $p_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これからP = $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 対角化すると $^tPAP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$