第17章 17.3

2点を通る直線の方程式を $y = mx + n$ とおくと

$(a_1, a_2)$ から $a_2 = a_1 m + n$ ①

$(b_1, b_2)$ から $b_2 = b_1 m + n$ ②

①－②から $a_2 - b_2 = (a_1 - b_1)m$ $m = \frac{a_2 - b_2}{a_1 - b_1}$ ③

③を①に代入して $a_2 = \frac{a_1(a_2 - b_2)}{a_1 - b_1} + n$ $n = \frac{a_1 b_2 - a_2 b_1}{a_1 - b_1}$ ④

③、④から

$y = \frac{a_2 - b_2}{a_1 - b_1} x + \frac{a_1 b_2 - a_2 b_1}{a_1 - b_1}$ $(a_1 - b_1)y = (a_2 - b_2)x + a_1 b_2 - a_2 b_2$

$a_2 x + b_1 y + a_1 b_2 - a_2 b_1 - b_2 x - a_1 y = 0$

また行列式を展開すると

$\begin{vmatrix} x & a_1 & b_1 \\ y & a_2 & b_2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a_2 x + b_1 y + a_1 b_2 - a_2 b_1 - b_2 x - a_1 y = 0$

これから与式は平面上の2点$(a_1, a_2)$、$(b_1, b_2)$を通る直線の方程式を表す