第17章 17.2

(1)

$\begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

$k=1$のとき $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ となり $x+y+z=0$ となる

$k \neq 1$のとき

$\begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1-k & 1-k^2 \\ 0 & k-1 & 1-k \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1+k \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2+k \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & k+1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & k+1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2+k \end{pmatrix}$

$k=-2$のとき

$\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ これから $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （$a$は任意定数）よって $x = y = z$ となる

(2)

$\begin{pmatrix} k & 1 & -3 \\ 5 & -3 & -k \\ 4 & -7 & k+1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} k & 1 & -3 \\ 5+3k & 0 & -k-9 \\ 4+7k & 0 & k-20 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} k & 1 & -3-9 \\ 1 & 0 & 3k+5 \\ 4+7k & 0 & k-20 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3+\frac{(k+9)k}{3k+5} \\ 1 & 0 & \frac{-9}{3k+5} \\ 0 & 0 & k-20+\frac{(k+9)(7k+4)}{3k+5} \end{pmatrix}$

これから

$k-20+\frac{(k+9)(7k+4)}{3k+5}=0 \quad (k-20)(3k+5)+(k+9)(7k+4)=0$

$3k^2-55k-100+k^2+67k+36=0 \quad 10k^2+12k-64=0 \quad 5k^2+6k-32=0$

$(5k+16)(k-2)=0 \quad k=2, -\frac{16}{5}$

$k=2$のとき

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad x = y = z$

$k=-\frac{16}{5}$のとき

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & \frac{119}{115} \\ 1 & 0 & \frac{29}{23} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = a'\begin{pmatrix} -\frac{119}{115} \\ -\frac{29}{23} \\ 1 \end{pmatrix} = a'\begin{pmatrix} 145 \\ 119 \\ -115 \end{pmatrix} \quad x:y:z = 145:119:-115$