第17章 17.4

点$(x,y)$で３直線が交わるとするとき

$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \quad \text{①}$ $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \quad \text{②}$ $a_3 x + b_3 y + c_3 = 0 \quad \text{③}$

①×$a_2$ −②×$a_1$から $(a_2b_1 - a_1b_2)y + (a_2c_1 - a_1c_2) = 0$ $\quad y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_2b_1 - a_1b_2} \quad \text{④}$

①×$b_2$ −②×$b_1$から $(b_2a_1 - b_1a_2)x + (b_2c_1 - b_1c_2) = 0$ $\quad x = \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{b_2a_1 - b_1a_2} \quad \text{⑤}$

④、⑤は$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \neq 0$より存在する

④、⑤を③に代入すると

$\frac{a_3(b_1c_2 - b_2c_1)}{b_2a_1 - b_1a_2} + \frac{b_3(a_1c_2 - a_2c_1)}{a_2b_1 - a_1b_2} + c_3 = 0$

$\frac{a_3(b_1c_2 - b_2c_1) + b_3(a_1c_2 - a_2c_1) + c_3(a_2b_1 - a_1b_2)}{b_2a_1 - b_1a_2} = 0$

$a_3(b_1c_2 - b_2c_1) + b_3(a_1c_2 - a_2c_1) + c_3(a_2b_1 - a_1b_2) = 0$

与式の行列式を展開すると

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 - a_3b_2c_1 = 0$

よって３直線がただ１点で交わるための条件が証明された

(1)

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -5 \\ 1 & a & -a \end{vmatrix} = -a + 9a + 10 - 3 + 5a - 6a = 0 \quad 7a + 7 = 0 \quad a = -1$

(2)

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -5 \\ a & -3 & 5 \\ 1 & -a & 2a \end{vmatrix} = -6a + 5a^2 + 5 - 15 + 5a - 2a^2 = 0 \quad 3a^2 - 1a - 10 = 0 \quad (3a + 5)(a - 2) = 0$

$a = 2, -\frac{5}{3}$