第15章 15.20 | 高専の数学解説

(1)

平面 $x + y = 0$ の法線ベクトルは $(1,1,0)$

今 $P(x,y,z)$ 、 $Q(x',y',z')$ とおくと直線 $PQ$ の式は媒介変数 $t$ を用いて

\begin{cases} x_0 = t + x \\ y_0 = t + y \\ z_0 = z \end{cases}

とかける。 $Q(x',y',z') = (t+x, t+y, z)$ とおくことが出来るので線分 $PQ$ の中点は

$\frac{PQ}{2} = \left( \frac{2x+t}{2}, \frac{2y+t}{2}, z \right)$

とかける。これが平面上にあるので

$\frac{2x+t}{2} + \frac{2y+t}{2} = 0$

$t = -x - y$ これを点 Q に代入すると

$Q(-y, -x, z)$ となり

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

がもとまる

平面 $x + y + z = 0$ の法線ベクトルは $(1,1,1)$

今 $P(x,y,z)$ 、 $Q(x',y',z')$ とおくと直線 $PQ$ の式は媒介変数 $t$ を用いて

\begin{cases} x_0 = t + x \\ y_0 = t + y \\ z_0 = t + z \end{cases}

とかける。 $Q(x',y',z') = (t+x, t+y, t+z)$ とおくことが出来るので線分 $PQ$ の中点は

$\frac{PQ}{2} = \left( \frac{2x+t}{2}, \frac{2y+t}{2}, \frac{2z+t}{2} \right)$

とかける。これが平面上にあるので $\dfrac{2x+t}{2} + \dfrac{2y+t}{2} + \dfrac{2z+t}{2} = 0$

$t = \dfrac{2}{3}(-x-y-z)$ これを点 Q に代入すると $Q\left( \dfrac{1}{3}(x-2y-2z), \dfrac{1}{3}(-2x+y-2z), \dfrac{1}{3}(-2x-2y+z) \right)$

これより

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

がもとまる