第15章 15.21

(1)

$P^{-1} = \frac{1}{v-u}\begin{pmatrix} v & -1 \\ -u & 1 \end{pmatrix}$から

$P^{-1}AP = \frac{1}{v-u}\begin{pmatrix} v & -1 \\ -u & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ u & v \end{pmatrix} = \frac{1}{v-u}\begin{pmatrix} 3v+2 & -2v-3 \\ -3u-2 & 2u+3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ u & v \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{v-u}\begin{pmatrix} 3v+2+u(-2v-3) & 3v+2+v(-2v-3) \\ -3u-2+u(2u+3) & -3u-2+v(2u+3) \end{pmatrix} = \frac{1}{v-u}\begin{pmatrix} 3v-3u-2uv+2 & -2v^2+2 \\ 2u^2-2 & 3v-3u+2uv-2 \end{pmatrix}$

これがBとなるので

$-2v^2+2=0 \qquad v=\pm1 \qquad\qquad 2u^2-2=0 \qquad u=\pm1$

$v-u \neq 0$となるべきなので $(v,u)=(\pm1,\mp1)$

$3v-3u-2uv+2=v-u$ $3v-3u+2uv-2=5(v-u)$

この２式より $u=1,v=-1$となる

(2)

$X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$とすると $X^2=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & cb+d^2 \end{pmatrix}$

$ab+bd=b(a+d)=0$ より $b=0$または$a=-d$

$ac+cd=c(a+d)=0$ より $c=0$または$a=-d$

ここで$a=-d$なら $a^2+bc=1$、$cd+d^2=cd+a^2=5$は成り立たないので

$X^2=\begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & d^2 \end{pmatrix}$となり $a=\pm1$、$d=\pm\sqrt5$ となる

よって

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\sqrt5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & \sqrt5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -\sqrt5 \end{pmatrix}$

(3)

$y = mx$ 上の点 $(1, m)$ を取り出すと

$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2m \\ -2+3m \end{pmatrix}$

これが直線上にあるので

$-2+3m = m(3-2m) \qquad -2+3m = 3m-2m^2 \qquad 2m^2 = 2 \qquad m = \pm 1$