第15章 15.19

(1)

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

これから

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

K: $2x^2+5y^2-6xy-8x+12y+4=0$

$A(4,3)\quad B(-4,-3)\quad C(4,1)$

A

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 \\ -4+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

B

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4+3 \\ 4-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$

C

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ -4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

K

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \quad \text{から}$

$\begin{cases} x = 2x'+y' \\ y = x'+y' \end{cases}$

これを代入して

$2(2x'+y')^2 + 5(x'+y')^2 - 6(2x'+y')(x'+y') - 8(2x'+y') + 12(x'+y') + 4 = 0$

$2\left(4x'^2+4x'y'+y'^2\right) + 5\left(x'^2+2x'y'+y'^2\right) - 6\left(2x'^2+3x'y'+y'^2\right) - 16x' - 8y' + 12x' + 12y' + 4 = 0$

$x'^2+y'^2-4x'+4y'+4=0$

(3)

(2)からx’y’座標軸において△ABCと曲線Kとの交点は$(2,0)$、$(0,-2)$であるので

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$