第15章 15.17

(1)

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & a \\ b & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x+ay \\ bx+y \end{pmatrix}$

$OP' = \sqrt{(-x+ay)^2+(bx+y)^2} \qquad OP = \sqrt{x^2+y^2}$

$OP' = 2OP \text{ より} \qquad OP'^2 = 4OP$

$(-x+ay)^2+(bx+y)^2 = 4(x^2+y^2)$

$(1+b^2)x^2 + (-2a+2b)xy + (a^2+1)y^2 = 4x^2+4y^2$

これから $1+b^2=4$ $-2a+2b=0$ $a^2+1=4$ となり

$a>0$ から $a=\sqrt3, b=\sqrt3$ となる

(2)

直線 $l$ を $y=mx+n$ とおくと、これは $(0,n), (-\dfrac{n}{m}, 0)$ をとおるので

$\begin{pmatrix} -1 & \sqrt3 \\ \sqrt3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt3 n \\ n \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} -1 & \sqrt3 \\ \sqrt3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\dfrac{n}{m} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{n}{m} \\ -\dfrac{n}{m}\sqrt3 \end{pmatrix}$

これから $(\sqrt3n, n), (\dfrac{n}{m}, -\dfrac{n}{m}\sqrt3)$ を通る直線が傾き $m$ となればよいので

$\frac{n-(-\dfrac{n}{m}\sqrt3)}{\sqrt3n-\dfrac{n}{m}} = m \qquad \frac{mn+n\sqrt3}{mn\sqrt3-n} = m \qquad \frac{m+\sqrt3}{m\sqrt3-1} = m$

$m+\sqrt3 = \sqrt3m^2-m \qquad \sqrt3m^2-2m-\sqrt3=0 \qquad (\sqrt3m+1)(m-\sqrt3)=0 \qquad \therefore m=-\frac{1}{\sqrt3}, \sqrt3$

また $(\sqrt3n, n)$ を $y=mx+n$ に代入して

$n=\sqrt3mn+n \qquad \text{この式が成り立つには } n=0 \text{ である必要がある。}$

よって $x+\sqrt3y=0$ $\sqrt3x-y=0$ となる